Trên tia đối của KG lấy điểm F sao cho KG=KF.

Ta có: \(\Delta\)ABC đều => ^A=60⁰. Xét \(\Delta\)ADE có: ^A=60⁰, AD=AE

=> \(\Delta\)ADE đều. Mà G là trọng tâm của \(\Delta\)ADE

=> G cũng là giao của 3 đường trung trực trong \(\Delta\)ABC 

=> DG=AG (T/c đường trung trực) (1)

Xét \(\Delta\)GDK và \(\Delta\)FCK:

KD=KC

^DKG=^CKF              => \(\Delta\)GDK=\(\Delta\)FCK (c.g.c)

KG=KF

=> DG=CF (2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) => AG=CF.

Cũng suy ra đc: ^GDK=^FCK (2 góc tương ứng) => ^GDE+^EDK=^FCB+^BCK

Lại có: ED//BC (Vì \(\Delta\)ADE đều) => ^EDK=^BCK (So le trong)

=> ^GDE=^FCB (Bớt 2 vế cho ^EDK, ^BCK) (3)

Xét \(\Delta\)ADE: Đều, G trọng tâm => DG cũng là phân giác ^ADE

=> ^GDE=^ADE/2=30⁰. 

Tương tự tính được: ^GAD=30⁰ => ^GDE=^GAD hay ^GDE=^GAB (4)

Từ (3) và (4) => ^GAB=^FCB

Xét \(\Delta\)AGB và \(\Delta\)CFB có:

AB=CB

^GAB=^CFB           => \(\Delta\)AGB=\(\Delta\)CFB (c.g.c)

AG=CF

=> GB=FB (2 cạnh tương ứng) (5).

=> ^ABG=^CBF (2 góc tương ứng). Lại có:

^ABG+^GBC=^ABC=60⁰. Thay ^ABG=^CBF ta thu được:

^CBF+^GBC=60⁰ => ^GBF=60⁰ (6)

Từ (5) và (6) => \(\Delta\)GBF là tam giác đều. => ^BGF=60⁰ hay ^BGK=60⁰

K là trung điểm của GF => BK là phân giác ^GBF => ^GBK= ^GBF/2=30⁰

Xét \(\Delta\)BGK: ^BGK=60⁰, ^GBK=30⁰ => ^BKG=90⁰.

ĐS: ^GBK=30⁰, ^BGK=60⁰, ^BKG=90⁰.

*Xong*

b) Ta có: ΔBAD=ΔBED(cmt)

nên DA=DE(hai cạnh tương ứng)

Ta có: BA=BE(gt)

nên B nằm trên đường trung trực của AE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: DA=DE(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của AE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AE(Đpcm)

Sửa đề: BA=BE

a) Xét ΔBAD và ΔBED có 

BA=BE(gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BAD}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

nên \(\widehat{BED}=90^0\)

hay DE⊥BC(đpcm)

c) Xét ΔADF vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có 

DA=DE(cmt)

AF=EC(gt)

Do đó: ΔADF=ΔEDC(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ADF}+\widehat{FDC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{EDC}+\widehat{FDC}=180^0\)

hay D,E,F thẳng hàng(đpcm)

Bài 3: 

a: Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC
góc ABM=góc ACN

BM=CN

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: AM=AN

b: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC

góc BAH=góc CAK

Do đó; ΔAHB=ΔAKC

Suy ra: AH=AK và BH=CK

c: Xét ΔHBM vuông tại H và ΔKCN vuông tại K có

MB=CN

góc M=góc N

Do đó ΔHBM=ΔKCN

Suy ra: góc HBM=góc KCN

=>góc OBC=góc OCB

hay ΔOBC can tại O

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

góc ABD=góc EBD

BD chung

=>ΔBAD=ΔBED

b: ΔBAD=ΔBED

=>góc BED=90 độ

=>DE vuông góc CB

c: BA=BE

DA=DE
=>BD là trung trực của AE

d: Xét ΔDAF vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

AF=EC

=>ΔDAF=ΔDEC

=>góc ADF=góc EDC

=>góc ADF+góc ADE=180 độ

=>F,D,E thẳng hàng

Bạn tham khảo nhé:

Trên tia đối của KG lấy điểm F sao cho KG=KF.

Ta có: ΔABC đều => ^A=60⁰. Xét ΔADE có: ^A=60⁰, AD=AE

=> ΔADE đều. Mà G là trọng tâm của ΔADE

=> G cũng là giao của 3 đường trung trực trong ΔABC 

=> DG=AG (T/c đường trung trực) (1)

Xét ΔGDK và ΔFCK:

KD=KC

^DKG=^CKF              => ΔGDK=ΔFCK (c.g.c)

KG=KF

=> DG=CF (2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) => AG=CF.

Cũng suy ra đc: ^GDK=^FCK (2 góc tương ứng) => ^GDE+^EDK=^FCB+^BCK

Lại có: ED//BC (Vì ΔADE đều) => ^EDK=^BCK (So le trong)

=> ^GDE=^FCB (Bớt 2 vế cho ^EDK, ^BCK) (3)

Xét ΔΔADE: Đều, G trọng tâm => DG cũng là phân giác ^ADE

=> ^GDE=^ADE/2=30⁰. 

Tương tự tính được: ^GAD=30⁰ => ^GDE=^GAD hay ^GDE=^GAB (4)

Từ (3) và (4) => ^GAB=^FCB

Xét ΔAGB và ΔCFB có:

AB=CB

^GAB=^CFB           => ΔAGB=ΔCFB (c.g.c)

AG=CF

=> GB=FB (2 cạnh tương ứng) (5).

=> ^ABG=^CBF (2 góc tương ứng). Lại có:

^ABG+^GBC=^ABC=60⁰. Thay ^ABG=^CBF ta thu được:

^CBF+^GBC=60⁰ => ^GBF=60⁰ (6)

Từ (5) và (6) => ΔGBF là tam giác đều. => ^BGF=60⁰ hay ^BGK=60⁰

K là trung điểm của GF => BK là phân giác ^GBF => ^GBK= ^GBF/2=30⁰

Xét ΔBGK: ^BGK=60⁰, ^GBK=30⁰ => ^BKG=90⁰.

ĐS: ^GBK=30⁰, ^BGK=60⁰, ^BKG=90⁰.